Тригономе́трия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии (науке, исследующей размеры и форму Земли).
Основные тригонометрические тождества
sin2x + cos2x = 1
tgx ctgx = 1
Формулы двойного аргумента
sin2x = 2sinx cosx
| sin2x | = | 2tgx | = | 2ctgx | = | 2 |
| 1 + tg2x | 1 + ctg2x | tgx + ctgx |
cos2x = cos2x - sin2x = 2cos2x - 1 = 1 - 2sin2x
| cos2x | = | 1 - tg2x | = | ctg2x - 1 | = | ctgx - tgx |
| 1 + tg2x | ctg2x + 1 | ctgx + tgx |
| tg2x | = | 2tgx | = | 2ctgx | = | 2 |
| 1 - tg2x | ctg2x - 1 | ctgx - tgx |
| ctg2x | = | ctg2x - 1 | = | ctgx - tgx |
| 2ctgx | 2 |
Формулы половинного аргумента
| tg2 | x | = | 1 - cosx |
| 2 | 1 + cosx |
| ctg2 | x | = | 1 + cosx |
| 2 | 1 - cosx |
| tg | x | = | 1 - cosx | = | sinx |
| 2 | sinx | 1 + cosx |
| ctg | x | = | 1 + cosx | = | sinx |
| 2 | sinx | 1 - cosx |
Формулы квадратов тригонометрических функций
| tg2x | = | 1 - cos2x |
| 1 + cos2x |
| ctg2x | = | 1 + cos2x |
| 1 - cos2x |
| tg2 | x | = | 1 - cosx |
| 2 | 1 + cosx |
| ctg2 | x | = | 1 + cosx |
| 2 | 1 - cosx |
Формулы сложения аргументов
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ
| tg(α + β) | = | tgα + tgβ |
| 1 - tgα tgβ |
| ctg(α + β) | = | ctgα ctgβ - 1 |
| ctgα + ctgβ |
sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ
cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ
| tg(α - β) | = | tgα - tgβ |
| 1 + tgα tgβ |
| ctg(α - β) | = | ctgα ctgβ + 1 |
| ctgα - ctgβ |
Формулы суммы тригонометрических функций
| sinα + sinβ | = 2sin | α + β | ∙ cos | α - β |
| 2 | 2 |
| cosα + cosβ | = 2cos | α + β | ∙ cos | α - β |
| 2 | 2 |
(sinα + cosα)2 = 1 + sin2α
| tgα + tgβ | = | sin(α + β) |
| cosα cosβ |
| ctgα + ctgβ | = | sin(α + β) |
| sinα sinβ |
Формулы разности тригонометрических функций
| sinα - sinβ | = 2sin | α - β | ∙ cos | α + β |
| 2 | 2 |
| cosα - cosβ | = -2sin | α + β | ∙ sin | α - β |
| 2 | 2 |
(sinα - cosα)2 = 1 - sin2α
| tgα - tgβ | = | sin(α - β) |
| cosα cosβ |
| ctgα - ctgβ | = – | sin(α - β) |
| sinα sinβ |
Формулы произведения тригонометрических функций
| sinα ∙ sinβ | = | cos(α - β) - cos(α + β) |
| 2 |
| sinα ∙ cosβ | = | sin(α - β) + sin(α + β) |
| 2 |
| cosα ∙ cosβ | = | cos(α - β) + cos(α + β) |
| 2 |
| tgα ∙ tgβ | = | cos(α - β) - cos(α + β) | = | tgα + tgβ |
| cos(α - β) + cos(α + β) | ctgα + ctgβ |
| ctgα ∙ ctgβ | = | cos(α - β) + cos(α + β) | = | ctgα + ctgβ |
| cos(α - β) - cos(α + β) | tgα + tgβ |
| tgα ∙ ctgβ | = | sin(α - β) + sin(α + β) |
| sin(α + β) - sin(α - β) |
,
,
,
,
;
- теорема синусов.
,
,
,
,
;
;
;
.
,
,
.
.
.
.
; d1=d2.
.
;
.
;
.
;
.