тригонометрия

Тригономе́трия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии (науке, исследующей размеры и форму Земли).

Основные тригонометрические тождества

sin²x + cos²x = 1

tgx	=	sinx
		cosx

ctgx	=	cosx
		sinx

tgx ctgx = 1

tg2x + 1	=	1
		cos2x

ctg2x + 1	=	1
		sin2x

Формулы двойного аргумента

sin2x = 2sinx cosx

sin2x	=	2tgx	=	2ctgx	=	2
		1 + tg2x		1 + ctg2x		tgx + ctgx

cos2x = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x

cos2x	=	1 - tg2x	=	ctg2x - 1	=	ctgx - tgx
		1 + tg2x		ctg2x + 1		ctgx + tgx

tg2x	=	2tgx	=	2ctgx	=	2
		1 - tg2x		ctg2x - 1		ctgx - tgx

ctg2x	=	ctg2x - 1	=	ctgx - tgx
		2ctgx		2

Формулы половинного аргумента

sin2	x	=	1 - cosx
	2		2

cos2	x	=	1 + cosx
	2		2

tg2	x	=	1 - cosx
	2		1 + cosx

ctg2	x	=	1 + cosx
	2		1 - cosx

tg	x	=	1 - cosx	=	sinx
	2		sinx		1 + cosx

ctg	x	=	1 + cosx	=	sinx
	2		sinx		1 - cosx

Формулы квадратов тригонометрических функций

sin2x	=	1 - cos2x
		2

cos2x	=	1 + cos2x
		2

tg2x	=	1 - cos2x
		1 + cos2x

ctg2x	=	1 + cos2x
		1 - cos2x

sin2	x	=	1 - cosx
	2		2

cos2	x	=	1 + cosx
	2		2

tg2	x	=	1 - cosx
	2		1 + cosx

ctg2	x	=	1 + cosx
	2		1 - cosx

Формулы сложения аргументов

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ

tg(α + β)	=	tgα + tgβ
		1 - tgα tgβ

ctg(α + β)	=	ctgα ctgβ - 1
		ctgα + ctgβ

sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ
cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ

tg(α - β)	=	tgα - tgβ
		1 + tgα tgβ

ctg(α - β)	=	ctgα ctgβ + 1
		ctgα - ctgβ

Формулы суммы тригонометрических функций

sinα + sinβ	=  2sin	α + β	∙ cos	α - β
		2		2

cosα + cosβ	=  2cos	α + β	∙ cos	α - β
		2		2

(sinα + cosα)² = 1 + sin2α

tgα + tgβ	=	sin(α + β)
		cosα cosβ

ctgα + ctgβ	=	sin(α + β)
		sinα sinβ

Формулы разности тригонометрических функций

sinα - sinβ	=  2sin	α - β	∙ cos	α + β
		2		2

cosα - cosβ	=  -2sin	α + β	∙ sin	α - β
		2		2

(sinα - cosα)² = 1 - sin2α

tgα - tgβ	=	sin(α - β)
		cosα cosβ

ctgα - ctgβ	=  –	sin(α - β)
		sinα sinβ

Формулы произведения тригонометрических функций

sinα ∙ sinβ	=	cos(α - β) - cos(α + β)
		2

sinα ∙ cosβ	=	sin(α - β) + sin(α + β)
		2

cosα ∙ cosβ	=	cos(α - β) + cos(α + β)
		2

tgα ∙ tgβ	=	cos(α - β) - cos(α + β)	=	tgα + tgβ
		cos(α - β) + cos(α + β)		ctgα + ctgβ

ctgα ∙ ctgβ	=	cos(α - β) + cos(α + β)	=	ctgα + ctgβ
		cos(α - β) - cos(α + β)		tgα + tgβ

tgα ∙ ctgβ	=	sin(α - β) + sin(α + β)
		sin(α + β) - sin(α - β)

Формулы стереометрии

планиметрические формулы

Основные планиметрические формулы 1. Произвольный треугольник (длины сторон, лежащих против вершин A, B и C, равны a, b, c соответственно; a , b , g - величины углов A, B и C; p - полупериметр; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; S - площадь; hA - высота, проведенная из вершины A): , , , , ; a2=b2+c2-2 b c cosa - теорема косинусов;  - теорема синусов.
2. Прямоугольный треугольник (a, b - катеты; c - гипотенуза; ac, bc - проекции катетов на гипотенузу): , , , , a2+b2=c2 - теорема Пифагора. ; ; ; .
3. Равносторонний треугольник: , , .
4. Произвольный четырехугольник (d1 и d2 - диагонали; j - угол между ними; S - площадь): .
5. Параллелограмм (a и b - смежные стороны; a - угол между ними; ha - высота, проведенная к стороне a): .
6. Ромб: .
7. Прямоугольник: ; d1=d2.
8. Квадрат (d - диагональ): .
9. Трапеция (a и b - основания; h - расстояние между ними; l - средняя линия): ; .
10. Описанный многоугольник (p - периметр; r - радиус вписанной окружности): S=pr.
11. Правильный многоугольник (an - сторона правильного n-угольника; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности): ; .
12. Окружность, круг (r - радиус; c - длина окружности; S -площадь круга): c=2pr; S= pr2.
13. Сектор (l - длина дуги, ограничивающей сектор; no - градусная мера соответствующего центрального угла; a - радианная мера центрального угла): ; .